Auf einmal fand sich unsere Klasse auf ihrem Surftrip an einem deutschen Strand wieder.ani10dm.gif (102998 Byte) Die meisten Schüler legten sich in die Sonne, nur wir beide gingen am Meer entlang. Da sah ich einen 10DM-Schein im Wasser schwimmen. Ich fischte ihn heraus und zeigte ihn meiner Freundin. Diese starrte auf das Stück Papier, was bei mir zu Verwunderung führte. Auch sie guckte nun auf den Schein, und es schien uns beiden, als wenn das Bild von dem Mann auf dem Schein anfangen würde zu verschwimmen. Tatsächlich bewegte sich das Bild immer mehr, ein Zeitstrudel entstand und riss uns mit sich.
Als wir wieder klar im Kopf waren, bemerkten wir, dass wir uns im Jahre 1787 in einem alten Klassenzimmer befanden. Doch wir waren nicht allein. Um uns herum saßen zehnjährige Schüler, die gerade Mathematikunterricht hatten. Weder die Klasse, noch der Lehrer bemerkten uns. Vor uns saß ein Junge, dem es anscheinend langweilig war. Dies ließ uns stutzen, denn gerade hatte der Lehrer seinen Schülern die Aufgabe gestellt, sie sollen die Summe aller Zahlen von 1-100 errechnen, und alle Schüler machten sich sofort daran, die Aufgabe auszuführen, nur der kleine Junge vor uns wusste die Lösung direkt. Deshalb schenkten wir dem Jungen unsere ganze Aufmerksamkeit. Wir wurden neugierig und fragten den Jungen nach seinem Namen und seinem schnellen Lösungsweg. "Ich heiße Carl Friedrich Gauß.", antwortete ein alter Mann, der auf einmal hinter uns stand. Wir erinnerten uns an das Bild auf dem Schein und erkannten, dass es der selbe Mann war. "Was machen Sie denn hier?", fragten wir wie aus einem Mund. "Das, was ihr hier seht, ist mein Leben. Der kleine Junge vor euch, das bin ich." - "Und wie haben Sie so schnell die Lösung gewusst? Normalerweise würde es doch mindestens eine Stunde dauern, um auf das Ergebnis zu kommen, oder?" - "Natürlich. Aber nicht, wenn man die mathematischen Gesetze anwendet und so die Zahlen geschickt umsortiert.", antwortete der alte Mann. "Wie genau haben Sie das denn gemacht?" Wir waren sehr angetan von dem alten Mann und wollten mehr wissen. "Passt auf: Ich habe Folgendes gerechnet:

"Haben Sie nicht auch noch andere Verfahren irgendwie erfunden oder so?" - "Habt ihr denn noch nie von dem Gauß-Verfahren gehört? Das lernt man doch in der Schule in euerm Alter, oder?" - "Also, ich habe noch nie etwas davon gehört. Worum geht es denn in diesem Verfahren?" - "Es geht um Gleichungssysteme. Holt euch Stift und Papier, dann erkläre ich es euch. Zum Beispiel hier ein ganz einfaches Gleichungssystem, das sich schon in Stufenform befindet:

Hier ist die Lösung besonders einfach, da man den Wert der Variablen z schon hat und so in die anderen Gleichungen einsetzen kann. D. h.:
Durch Einsetzen von z = 1 in die zweite Gleichung erhält man nun auch den Wert der 2.Variablen y. 
Diesen kann man nun auch einsetzen.
Die Lösung dieses Gleichungssystems (hier: (4;2;1)) nennt man Zahlentripel. Bei nur 2 Gleichungen spricht man von einem Zahlenpaar und bei 4 Gleichungen von einem 4-Tupel.
Für das Gauß-Verfahren benötigt man Äquivalenzumformungen. Dabei handelt es sich um Umformungen der Gleichungen, bei denen die Lösungsmenge nicht geändert wird.
Äquivalenzumformungen sind:
  • Man kann 2 Gleichungen miteinander vertauschen.
  • Man kann eine Gleichung mit einem beliebigen Faktor, der nicht 0 ist, multiplizieren.
  • Man kann eine Gleichung durch die Summe von ihr und einer anderen Gleichung ersetzen.

Durch diese Äquivalenzumformungen lässt sich ein lineares Gleichungssystem so umformen, dass es Stufenform hat.

Beim Gauß-Verfahren löst man nun ein lineares Gleichungssystem, indem man durch geeignete Äquivalenzumformungen die Stufenform herstellt und dann schrittweise nach den Variablen  ... , z,  y,  x auflöst. Hier ein Beispiel:

Vertauschen der ersten und der zweiten Gleichung, damit man ungefähre Stufenform hat:
Die mittlere Gleichung mit (-2) multiplizieren und zur unteren Gleichung addieren, damit die Variable z wegfällt.
Die obere Gleichung mit 5 multiplizieren, zu der 2. Gleichung addieren, damit man nun die Stufenform erhält.
Jetzt kann man nach x auflösen, dann in die anderen Gleichungen einsetzen und das lineare Gleichungssystem lösen.
Lösungsmenge: L = {(0;-2; 0)}
Meine Freundin sagte: "Das ist ja schwierig, aber ich glaube, ich habe es verstanden!" Plötzlich wurden wir wieder in den 10DM-Schein gesogen und fanden uns auf einmal wieder am Strand  bei unseren Klassenkameraden wieder! Nachdem wir den anderen alles erzählt hatten, gingen wir zu unseren Surfbrettern und surften weiter.

 

Theresa & Susanne

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